عالم المعرفة

يمكن استعمال الرسم الشجري لاظهار النواتج الممكنة لموقف احتمالي

يمكن استعمال الرسم الشجري لاظهار النواتج الممكنة لموقف احتمالي

يمكن استعمال الرسم الشجري لاظهار النواتج الممكنة لموقف احتمالي

  • لاستعمال الرسم الشجري حدد النتائج الأولى المُحتملة الحدوث بدقة شديدة.
  • قم بتحديد النتائج المحتملة عن الإحتمالات الأولى الحادثة.
  • كرر الخطوة السابقة عند زيادة عدد الإحتمالات المُتاحة.
  • احسب احتمالية حدوث كل احتمال من الإحتمالات.

يمكن استعمال الرسم الشجري لاظهار النواتج الممكنة لموقف احتمالي هناك العديد من الطرق الإحصائية والحسابية لحساب احتمالية حدوث أمرًا ما من عدمه، ويعتبر الرسم أو المخطط الشجري إحدى هذه الطرق المستخدمة، حيث يُمكن من خلالها عرض جميع الاحتمالات الممكنة مرة واحدة، كما يُمكن استعمال الرسم الشجري للحصول على احتمالية حدوث أمر ما ضمن عدد من الأحداث وفقًا لفهمك الشخصي للمعطيات.
ويساعد المخطط الشجري في تنظيم النتائج المختلفة، حيث يتم تمثيل الحدث الأول بنقطة، وتتفرع من هذه النقطة أفرع مشابهة لأفرع الشجرة لتمثيل جميع النتائج المُحتملة بنهاية كل فرع من الفروع، كما يتم كتابة احتمال حدوث كل نتيجة على الفرع المُنبثقة منه، وفيما يلي تطبيق عملي لطريقة التمثيل بالمخطط الشجري.
افترض معي أنّ لدينا صندوق به عدد من الكرات، 3 حمراء وأربع كرات بيضاء، فما هي الإحتمالات المتاحة للكرات عند سحب كرة واحدة لمرتين متتالين فى الحالات التالية:

  • إرجاع الكرات مرة أخري إلى الصندوق عقب السحب كل مرة.
  • عدم إرجاع الكرات مرة أخري إلى الصندوق.

ولحل هذه المسألة مع استعمال الرسم الشجري علينا اتباع الخطوات التالية مع مراعاة رجوع أو عدم رجوع الكرات في كل مرة:

  • حدد النتائج الأولى المُحتملة الحدوث بدقة شديدة.
  • قم بتحديد النتائج المحتملة عن الإحتمالات الأولى الحادثة.
  • كرر الخطوة السابقة عند زيادة عدد الإحتمالات المُتاحة.
  • احسب احتمالية حدوث كل احتمال من الإحتمالات.

وتذكر دائمًا أنّ قانون احتمالية حدوث عنصر ما = عدد العناصر المرغوبة بها ÷ عدد العناصر المتاحة ككل.

تحديد النتائج الأولى المُحتملة



تُعد هذه النقطة البنيان الأساسي لجميع الاحتمالات القادمة لذلك يجب مراعاة الدقة والتركيز،
ومن خلال المغطيات السابقة بالمثال يُمكننا القول:

  • لدينا في الصندوق 7 كرات، 3 حمراء و 4 كرات بيضاء.
  • ويُحتمل عند السحبة الأولى أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء.
  • إذًا احتمال الحصول على كرة حمراء يساوي 3/7.
  • واحتمال الحصول على كرة بيضاء 4/7.

ويمكن تمثيلها على مخطط الرسم الشجري كالأتي:

الخطوة الأولى عند استعمال الرسم الشجري: تحديد النتائج الأولى وتتشابه هذه الخطوة في حالة إرجاع الكرات عقب السحب أو عدم إرجاعها مرة أخرى.

تحديد النتائج المحتملة للمرة الثانية عقب ارجاع الكرات

عند السحب مرة أخرى من الصندوق عقب إرجاع الكرات تظهر لنا الإحتمالات السابقة مرة أخرى وهي:

  • صندوق به 7 كرات، 3 حمراء و 4 كرات بيضاء، يُحتمل عند السحبة الأولى أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء.
  • احتمال الحصول على كرة حمراء يساوي 3/7.
  • واحتمال الحصول على كرة بيضاء 4/7، وتُمثل رياضيًا كالآتي:


الخطوة الثانية لاستعمال الرسم الشجري: تحديد الاحتمالات الثانية عقب ارجاع الكرات

تحديد النتائج المحتملة للمرة الثانية عند عدم ارجاع الكرات

عند عدم إرجاع الكرات مرة أخرى عقب السحب تحدث الإحتمالات المُتغايرة وذلك نتيجة إدخال شرط جديد على عملية الإحتمال، وبالتطبيق على المثال السابق، تكون الإحتمالات المتاحة عند سحب كرتين لمرتين متتالين مع عدم إرجاع الكرات مرة أخري إلى الصندوق مغايرة تمامًا، حيث تقل عدد الكرات السبع إلى ست كرات مما يُغير من الإحتمالات المُتاحة على الوجه التالي:

  • الصندوق به 6 كرات، إما أن تكون 2 حمراء أو 3 بيضاء
  • إذًا تكون احتمالية الحصول على كرة حمراء 2/6 في حالة سحبها بالمرة الأولى أو 3/6 عند عدم سحبها بالمرة الأولى.
  • تكون احتمالية الحصول على كرة بيضاء 3/6 في حالة تم سحبها بالمرة الأولى أو 4/6 إذا لم تُسحب بالاحتمال الأول.

ويمكن تمثيل هذه الإحتمالات باستخدام الرسم الشجري كالآتي:

الخطوة الثانية لاستعمال الرسم الشجري في الاحتمالات المُتغايرة عند عدم إرجاع الكرات

حساب احتمالية حدوث كل احتمال من الإحتمالات

نقوم الآن بحساب احتمالية الحصول على الكرات بعد القيام بعمليتين سحب في كلًا من الحالات الآتية:

  • إرجاع الكرات.
  • عدم إرجاع الكرات.

في حالة إرجاع الكرات: تكون قيم الاحتمالات كالآتي:
احتمالية الحصول على كرة حمراء مرتين = 3/7 × 3/7 = 9/49
احتمال الحصول على كرة بيضاء مرتين = 4/7 × 4/7 = 16/94
احتمالية الحصول على كرة بيضاء عقب سحب مرة كرة حمراء= 4/7 × 3/7 = 12/49
واحتمالية الحصول على كرة حمراء عقب سحب مرة كرة بيضاء= 3/7 × 4/7 = 12/49
ويكون مجموع الإحتمالات = 49/49 = 1
في حالة عدم إرجاع الكرات: تكون قيم الاحتمالات كالآتي:
احتمالية الحصول على كرة حمراء مرتين = 2/6 × 3/7 = 6/42
احتمال الحصول على كرة بيضاء مرتين = 3/6 × 4/7 = 12/42
احتمالية الحصول على كرة بيضاء عقب سحب مرة كرة حمراء= 4/6 × 3/7 = 12/42
واحتمالية الحصول على كرة حمراء عقب سحب مرة كرة بيضاء= 3/6 × 4/7 = 12/42
ويكون مجموع الإحتمالات =42/42 = 1
ونُلاحظ أنّ مجموع قيم الإحتمالات في كلتا الحالتين مساويًا للواحد الصحيح وهو شرط عام لصحة قانون الإحتمال، بينما يعبر الصفر بالإحتمالات على استحالة حدوث الأمر، وعلى كل حل يجب أن يكون مجموع القيم وفقًا للإحتمالات الناتجة مساويًا للعدد 1، ويمكن استغلال هذه المعلومة من أجل مراجعة الإحتمالات المحسوبة بدقة للحصول على نتائج صحيحة مئة بالمئة.

مثال تطبيقي على استعمال الرسم الشجري للإحتمال

صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء و كرتين زرقاء، تم سحب إحدى الكرات بشكل عشوائي للمرة الأولى ثم أُعيدت مرة أخرى، ثم تم سحب الكرات للمرة الثانية عشوائيًا قم بعرض جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام المخطط الشجري ومن ثم قم بحساب احتمالية الحصول على القيم الآتية:

  • كرة زرقاء مرة واحدة.
  • واحدة حمراء وأخرى زرقاء.
  • كرتان من نفس اللون.

أولًا، نقوم برسم شجرة الإحتمالات مع مراعاة إرجاع الكرات عقب السحب كل مرة، والبدء بنقطة عند الرسم، وكتابة الإحتمالات على الفروع المُنبثقة.

حل مسألة احتمال باستعمال الرسم الشجري

احتماليـة الحصول على كرة زرقاء مرة واحدة في المرتبن: تساوي احتمالية الحصول على كرة حمراء ثم زرقاء أو الحصول على كرة زرقاء ثم حمراء أو الحصول على كرة زرقاء ثم زرقاء.
إذًا احتمالية الحصول على كرة زرقاء مرة واحدة= 2/9 + 2/9 +1/9 = 5/9
احتمالية الحصول على واحدة حمراء وأخرى زرقاء: تساوي احتمالية الحصول على كرة حمراء ثم زرقاء أو تساوي احتمالية الحصول على كرة زرقاء ثم حمراء.
إذًا احتمالية الحصول على واحدة حمراء وأخرى زرقاء= 2/9 + 2/9= 4/9
احتماليـة الحصول على كرتين من نفس اللون: تساوي احتمالية الحصول على كرة حمراء ثم حمراء أو زرقاء ثم زرقاء.
إذًا احتمالية الحصول على كرتين من نفس اللون=1/9+4/9= 5/9
المراجع
https://3almc.com/different-ways-to-say

yasmen

كما شهرزاد.. حكت لتُبقي نفسها على قيد الحياة، أكتبُ لأبقِى نفسي على قيد الحياة. إنّني مع كلّ نصٍّ أكتبه أكتشف حقيقة أخرى مخبأة في داخلي.
زر الذهاب إلى الأعلى